Sobre la evolucion temporal de las conversaciones que hacen referencia a conversaciones anteriores

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La evidencia empirica ha demostrado que la proporcion de conversaciones en la clase de matematicas e informatica que hacen referencia a conversaciones anteriores es alarmantemente alta, tornando cualquier comentario en criptico a los oidos del profano. Atribulado por esta ominosa circunstancia lleve a cabo un conteo que mostro que en la cena del sabado la proporcion de conversaciones que hacen referencia a conversaciones anteriores sobre el total era cercana a 115/227~1/2 ( a solo siete meses de conocernos ).

Sea P(t) dicha proporcion en dependencia del tiempo.

es claro que

$0 \leq P(t) \leq 1$

$P(7) = \frac{1}{2}$

Como al conorcernos no teniamos conversaciones comunes anteriores , significa que :

$P (0) = 0$

Ahora surge espontaneamente la pregunta sobre como evoluciona esta cantidad ya que las conversacines originales ocupaban el total de P al comienzo y ahora suponen menos de la mitad. Para ello sea f(t) la frecuencia con la que una conversacion(ocurrida en t=0) es referida. Teniendo en cuenta que 1-P es el numero de conversaciones originales (1-P)f la frecuencia de desaparicion de esa conversacion. En un instante t podemos calcular P(t) integrando.

$P(t)=\int_0^t (1-P(u))f(t-u)\,du$

Modelo 1 (decrecimiento exponencial):

$f(t)= e^{at} ( a \leq 0 )$

Este modelo es razonable y algunas soluciones a la ecuacion de arriba se pueden hallar a ojo. Como $P(t)=\frac{sinh(t)}{e^t} = \frac{e^t-e^{-t}}{2e^t}$

Que es una solucion para a=-1. Ademas indica que no hay mucho de lo que temer ya que el limite de P es un medio , proporcion alcanzada en la practica.

Solucion general

Sobre la evolucion temporal de las conversaciones que hacen referencia a conversaciones anteriores

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